Algorithmische Zahlentheorie by Prof. Dr. Otto Forster (auth.) PDF

By Prof. Dr. Otto Forster (auth.)

ISBN-10: 3663092399

ISBN-13: 9783663092391

ISBN-10: 3663092402

ISBN-13: 9783663092407

Dr. Otto Forster ist Professor am Mathematischen Institut der Ludwig-Maximilians-Universität München und Autor der bekannten Lehrbücher research 1-3.

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I y. E R. Das bedeutet aber Der (Ieiehte) Beweis von ii) und iii) sei der Leserin liberlassen. 8. Corollar. ,xr E R Elemente eines Integritatsbereichs R. h. d I xi fur alle i= 1, ... 9. Definition. h. ein d E R existiert mit I = (d). 10. Satz. Jeder euklidische Ring R ist ein Hauptidealring. Beweis. 3. Sei I C Rein Ideal. Es ist zu zeigen, dass I Hauptideal ist. Der Fall I = {O} ist trivial. Wir k6nnen also voraussetzen, dass I " {O} i- 0. Wil' betraehten die Menge M := {j3(x) : x E I" {O}} C N.

F(X) = 1st ein Polynom aus Z[X] nicht primitiv, so kann man den gr6fiten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten ausklammern. Es ergibt sich also, dass jedes Polynom aus Q[X] zu einem primitiven Polynom aus Z[X] assoziiert ist. Dieses primitive Poly nom ist bis aufs Vorzeichen eindeutig bestimmt. B. Lemma. Das Produkt zweier primitiver Polynome F, G E Z[X] ist wieder primitiv. Beweis. Sei j n F(X) = L ai Xi , i=O G(X) =L j=o Fur die Koeffizienten des Produkts H(X) bjXj. = F(X)G(X) = n+m L qX k gilt dann k=O L aibj.

FUr (XI, ... ,Xr),(YI, ... ,Yr) E A sel (Xl, ... , Xr ) + (YI, ... , Yr) := (Xl + YI, ... , xr + Yr), ( XI, ... , Xr ) . (YI , ... , Yr) := (X I YI , ... , XrYr ). Die Ringaxiome fUr die so definerte Addition und Multiplikation auf A = Al X X Ar sind leicht nachzupriifen. Das Nullelement von A ist (0, ... ,0). Raben aIle Ringe Ai ein Einselement, so ist (1, ... , 1) das Einselement des direkten Produkts. Ein Element X = (Xl' ... ' X r ) E A ist genau dann invertierbar, wenn alle Xi E Ai invertierbar sind und es gilt x-I = (x11, ...

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